BILANGAN

1. BILANGAN KOMPLEKS.

Berdasarkan gambar diatas, lingkaran yang paling besar merupakan bilangan kompleks dan menunjukkan betapa luasnya bilangan kompleks itu.

Bilangan kompleks yang merupakan penggabungan dari bilangan real dan imajiner dapat kita notasikan sebagai hubungan penjumlahan seperti berikut ini.

z=x+yi

Berdasarkan notasi diatas x dan y merupakan bilangan riil sedangkan i merupakan imajiner murni. Notasi bilangan kompleks bukan hanya ditulis dalam bentuk penjumlahan melainkan juga dalam bentuk polar. Perhatikan penjelasan berikut ini. Dengan menganggap bahwa

serta

maka

atau sering ditulis juga a+bi = r cis teta.

Selain bentuk penjumlahan dan bentuk polar, notasi bilangan kompleks dapat dituliskan juga dalam Eksponen dan dalam bidang kompleks, yaitu :

Dalam sistem koordinat dua dimensi, bilangan kompleks dapat divisualisasikan sebagai titik atau vektor posisi yang biasa disebut dengan bidang kompleks atau diagram argand. Koordinat cartesian dari bilangan kompleks yaitu bagian riil x serta bagian imajiner y, sedangkan koordinat sirkularnya yaitu r=|z|, disebut modulus, dan φ=arg(z) disebut argumen kompleks dari z. Jika kita kombinasikan dengan rumus euler, maka diperoleh :

Untuk lebih memahami bilangan kompleks, perhatikan beberapa contoh soal berikut ini.

1. Suatu bilangan kompleks z dinotasikan sebagai z = (x + yi).
Jika z = , tentukan x dan y. Selanjutnya, gambarkan z dalam bidang kompleks!

Jawab:
Bentuk z diubah dulu atau disederhanakan.
z =
z =
z =
z =
z =
Nah, di sini didapat bahwa x=5 dan y = .
Ini adalah lokasi titik z di bidang kompleks:

Titik yang berwarna merah adalah titik yang dimaksud.

2. Jika diketahui persamaan

z1 = z2 = z3.
z1 = c + ai.
z2 = b + 2ci.
z3 = a+2 – di.
Tentukan a, b, c, d dan z1, z2, dan z3!Jawab:
Di sini, kita harus tahu bahwa 2 bilangan kompleks p + qi dan r+si dikatakan sama jika dan hanya jika p = r DAN q = s.Oleh karena itu, kita tinggal menghubung-hubungkan koefisiennya.

z1 = z2 = z3

c + ai = b + 2ci = a+2 – di.

c = b = a+2 … (i)
a = 2c = -d … (ii)
c= a+2
Substitusikan nilai c ke persamaan 2
a = 2(a+2)
a = 2a + 4
a = -4
Secara otomatis, kita dapatkan nilai d = 4. c=-2. b = -2. (Substitusi biasa)
Kita dapatkan z1 = z2 = z3 = c + ai = -2 -4i.

3. (3+4i)(2-5i) = ….
Jawab:
Lakukan perkalian biasa terlebih dahulu.
(3+4i)(2-5i) = 6 -15i + 8i -20i.
Lalu ubah  menjadi 1.(3+4i)(2-5i) = 6 -15i + 8i +20 = 26 -7i.

4.  = ….
Jawab:
Lihat bagian penyebut, yaitu 3+4i. Maka, sekawan/konjugatnya adalah 3-4i. Kalikan bilangan konjugat ini di pembilang dan penyebut.. (perhatikan langkah di bawah).
 =  
====-=
====-=
====-=
====-= 

5. Jika z = 3-i. Tentukan .

Jawab:
Hasil dari pemangkatan dapat diselesaikan dengan dalil De Moivre. Namun, karena kita belum belajar hal itu, kita akan mengalikannya secara biasa.
 = (3-)(3-i)(3-i) = (9-6i-1)(3-i)=(8-6i)(3-i)=24-8i-18i-6=18-27i.

6. (3+2i)+(-2+7i) =….
Jawab:
(3+2i)+(-2+7i) = 3 + 2i -2 + 7i = 1 + 9i.

 

 

2. BILANGAN IMAJINER

 

Nah, Bilangan imajiner atau biasa disebut bilangan khayal merupakan bilangan yang mempunyai sifat i ² = −1, yang biasanya bilangan imajiner ini merupakan bagian dari bilangan kompleks. Selain merupakan bagian dari bilangan kompleks, namun bilangan imajiner juga merupakan bagian dari bilangan riil.

Secara definisi, bilangan imajiner itu diperoleh dari menyelesaikan  persamaan kuadratik berikut ini.
x²+1 = 0   secara ekuivalen akan menjadi
x² = -1  atau sering dituliskan sebagai x=√-1

Perhatikan gambar diatas, gambar diatas menunjukan beberapa contoh bilangan imajiner. Jadi apakah sekarang anda sudah memahami tentang bilangan imajiner? Jadi jika dalam matematika kita menemukan bentuk akar negatif maka itu merupakan bilangan imajiner.

3. BILANGAN RIIL

Gambar disamping merupakan simbol yang sering digunakan untuk bilangan riil, sehingga kita akan lebih mudah untuk mengingatnya.
Sifat-sifat Bilangan Riil :
A. Aksioma Medan
Bilangan Riil dalam operasi penjumlahan dan perkalian memenuhi aksioma berikut ini. Misalkan x dan y merupakan bilangan riil dimana x+y suatu operasi penjumlahan dan xy suatu operasi perkalian.

• Aksioma 1 ( hukum komutatif ) yaitu x+y=y+x dan xy=yx
• Aksioma 2 ( hukum asosiatif ) yaitu x+(y+z)=(x+y)+z dan x(yz)=(xy)z
• Aksioma 3 ( hukum distributif ) yaitu x(y+z)=xy+xz
• Aksioma 4 (eksistensi unsur identitas). Identitas untuk penjumlahan 0 dan untuk perkalian 1 yang menjadikan 0+x=x dan 1.x=x.
• Aksioma 5 (eksistensi negatif / invers) terhadap penjumlahan dimana x+y=0 maka dapat ditulis y=-x.
• Aksioma 6 (eksistensi resiprokal/invers) terhadap perkalian dimana xy=1 sehingga kita dapat melambangkan y=1/x

Himpunan yang memenuhi aksioma-aksioma diatas disebut medan, oleh karena itu aksioma-aksioma diatas disebut aksioma medan.
B. Aksioma Urutan
Disini kita akan mengasumsikan terdapat R+ yaitu bilangan riil positif, misalnya x dan y anggota R+, maka akan memenuhi aksioma :

• Aksioma 7 yaitu xy dan x+y anggota R+.
• Aksioma 8 yaitu untuk setiap x≠0 , x anggota R+ atau -x anggota R+, namun tidak mungkin keduanya sekaligus.
• Aksioma 9 yaitu 0 bukan merupakan anggota R+.

C. Aksioma Kelengkapan

• Aksioma 10 yaitu setiap anggota bilangan riil S yang memiliki batas atas memiliki supremum, yaitu ada bilangan riil B sehingga B=sup(S).

Contoh cara mengubah pecahan biasa kedesimal

contoh cara mengubah pecahan ke persen

contoh cara mengubah persen ke pecahan




4. BILANGAN RASIONAL DAN IRASIONAL

 

Bilangan rasional merupakan suatu bilangan yang dapat dinyatakan sebagai bentuk a/b (pecahan) dimana a dan b adalah bilangan bulat dengan b bukan nol. Bilangan rasional juga memiliki batasan yaitu terdapat pada selang (-∞,∞).

Jika kita bicara bilangan rasional maka didalamnya sudah mencakup bilangan-bilangan seperti bilangan bulat, bilangan asli, bilangan cacah, bilangan prima serta bilangan bilangan lain yang menjadi subset dari bilangan rasional tersebut.

contoh :

Jika a/b = c/d maka, ad = bc.

Selanjutnya Bilangan irasional yaitu suatu bilangan yang tidak dapat dibagi karena hasil baginya tidak akan pernah terhenti. Jadi pada intinya, jika bilangan tersebut tidak dapat dijadikan bentu a/b maka merupakan bilangan irasional. Yang paling populer untuk contoh bilangan irasional yaitu π,  dan e.

π =  3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510…

 = 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73798..

e = 2,7182818….

Untuk lebih memudahkan dalam memahami konsep bilangan rasional dan irasional perhatikan contoh berikut.

Contoh:
1. Tentukan bilangan pecahan  paling sederhana dari bilangan 0,123123123123123….
Jawab:

Terlihat bahwa ada 3 bilangan yang berulang. maka pecahan itu adalah .
Setelah disederhanakan maka menjadi .2. Jika  adalah suatu pecahan dari bilangan 0,0142857142851714285171428517…. Tentukan a+b positif terkecil!
Jawab:
Terlihat bahwa ada 6 bilangan yang berulang, yaitu 142857. Jadi, supaya semua desimal bergeser ke kiri, kalikan saja dengan 10, sehingga menjadi 0,142857142851714285171428517….
Dengan cara yang sama seperti di atas, maka pecahan tersebut adalah:.
Setelah disederhanakan, maka hasilnya adalah . Dengan demikian, a+b positif terkecil yang diminta adalah 70+1 = 71. Mudah bukan??

3. Apakah 0,12111111… adalah bilangan rasional?
Jawab:
Jangan terkecoh dengan angka 2. Ini juga bagian dari bilangan berpola.
Anggap
A=0,121111…
Kalikan A dengan 100 menghasilkan
100A = 12,1111… _____._(persamaan pertama)
Kalikan lagi dengan 10 menghasilkan
1000A = 121,1111… ____(persamaan kedua)
Kurangi persamaan kedua dengan persamaan kesatu
1000A-100A = 121,1111… – 12,1111…
900 A = 109
A = .
Jadi, a = 109 dan b=900. Jadi, 0,1211111… merupakan bilangan rasional.

4. Bagaimana dengan bilangan desimal tak hingga banyaknya dan memiliki pola desimal yang berulang-ulang seperti bilangan 0,25252525…?
Jawab:
Misalkan
A= 0,2525252525…. _____._(persamaan pertama)
Kalikan A dengan 100 menghasilkan:
100A=25,2525252525…. ___(persamaan kedua)
Kurangi persamaan kedua dengan persamaan kesatu:
100A-A = 25,2525252525… – 0,252525252525…
99A = 25
A = .
Ternyata bilangan 0,252525252525… dapat dibentuk menjadi pecahan di mana a=25 dan b=99.
Jadi, bilangan 0,25252525… adalah bilangan rasional.

5. Bagaimana dengan bilangan ..???
Jawab:

Bilangan  adalah bilangan imajiner, bilangan yang tidak real (bilangan yang sesungguhnya tidak ada, karena bilangan negatif tidak bisa diakar 2). Jadi, jelas kalau bilangan itu tidak termasuk bilangan rasional maupun bilangan irasional.

6.Bagaimana dengan bilangan 0,98787768638?
Jawab:
Tentu saja bilangan rasional. Itu kan dapat diubah menjadi .

Itulah beberapa contoh dari cara menentukan bilangan rasional dan irasional

 

 

 5. BILANGAN CACAH

Operasi pada bilangan Cacah
1. Operasi Penjumlahan
meliputi:
*komutatif dimana a+b=b+a
*asosiatif dimana (a+b)+c=a+(b+c)
*unsur identitas adalah nol
*tertutup yaitu penjumlahan dua bilangan cacah akan menghasilkan bilangan cacah juga.
2. Operasi Pengurangan
merupakan operasi kebalikan dari pengurangan a-b=c sama artinya dengan b+c=a maka sifatnya sama dengan penjumlahan.
3. Operasi Perkalian
meliputi :
* komutatif : axb=bxa
* asosiatif : (axb)xc=ax(bxc)
* distributif : ax(b+c)=(axb)+(axc) dan ax(b-c)=(axb)-(axc)
*unsur identitas perkalian yaitu 1 : ax1=a dan bx1=b
* semua bilangan cacah dikalikan nol hasilnya adalah nol.
4. Operasi Pembagian
merupakan operasi kebalikan dari perkalian a:b=c maka bxc=a. Pembagian bilangan cacah dengan nol tidak didefinisikan sedangan nol dibagi dengan bilangan cacah hasilnya nol.


6.  BILANGAN PRIMA

merupakan bilangan asli yang lebih besar dari satu serta faktor pembaginya adalah satu dan bilangan itu sendiri.

Yang termasuk dalam anggota bilangan prima yaitu {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, …}. Dalam matematika tidak ada bilangan prima yang terbesar karena jumlah dari bilangan prima tak berhingga.

Sepertinya untuk definisi serta yang anggota bilangan prima sudah jelas, sehingga sekarang kita akan bahas tentang Faktorisasi Prima. Yang dimaksud dengan faktorisasi prima adalah pembentukan suatu bilangan ke dalam bentuk perkalian dimana faktornya merupakan bilangan prima.

Terdapat dua cara mencari faktorisasi prima, yaitu :

1. Menggunakan pohon faktor

Perhatikan contoh berikut ini

sehingga faktorisasi prima dari 30 adalah 2x3x5

sehingga faktorisasi prima dari 864 adalah 2x2x2x2x2x3x3x3

2. Menggunakan pembagian bersusun

Perhatikan contoh berikut ini.

sehingga faktorisasi prima dari 30 yaitu 2x3x5

Hasilnya akan sama baik kita mencari menggunakan pohon faktor ataupun pembagian bersusun. Berdasarkan pengetahuan matematis sekarang, bilangan yang paling sulit difaktorisasi adalah bilangan semiprima yaitu bilangan yang merupakan hasil perkalian dua bilangan prima.

7.  BILANGAN ASLI

merupakan himpunan bilangan bulat positif yang bukan nol. Karena yang termasuk dalam himpunan bilangan bulat  positif yaitu {0, 1, 2, 3, …} maka yang termasuk dalam anggota bilangan asli yaitu {1, 2, 3, 4, …}.

Bilangan asli merupakan jenis bilangan yang pertama digunakan untuk membilang, menghittung, dan sebagainya. Sifat yang lebih dalam tentang bilangan asli, yang juga berkaitan dengan bilangan prima dipelajari selanjutnya dalam teori bilangan. Para ahli matematika melambangkan himpunan bilangan asli dengan N atau .

 

 

8. BILANGAN BULAT

 

merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4,… sehingga negatif dari bilangan cacah yaitu -1,-2,-3,-4,… dalam hal ini -0 = 0 maka tidak dimasukkan lagi secara terpisah.

Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa menggunakan komponen desimal atau pecahan.

Himpunan semua bilangan bulat dilambangkan dengan Z atau yang berasal dari Zahlen ( bahasa jerman untuk bilangan ).

Himpunan Z tertutup terhadap operasi penjumlahan, operasi pengurangan  dan operasi perkalian. Maksudnya jumlah, seleisih dan hasil kali dari bilangan bulat juga merupakan bilangan bulat. Tetapi hasil pembagian dua bilangan bulat belum tentu bilangan bulat, oleh karena itu Z tidak tertutup terhadap operasi pembagian. Bilangan bulat banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari, salah satu contohbya untuk mennetukan kedalaman laut, jika kita mengatakan kedalaman 20 m dibawah permukaan laut maka kita tulis -20m.

Operasi Penjumlahan dan Perkalian Bilangan Bulat

	Penambahan	Perkalian
closure:	a + b   adalah bilangan bulat	a × b   adalah bilangan bulat
Asosiativitas:	a + (b + c)  =  (a + b) + c	a × (b × c)  =  (a × b) × c
Komutativitas:	a + b  =  b + a	a × b  =  b × a
Eksistensi unsur identitas:	a + 0  =  a	a × 1  =  a
Eksistensi unsur invers:	a + (−a)  =  0
Distribusivitas:	a × (b + c)  =  (a × b) + (a × c)
Tidak ada pembagi nol		jika a × b = 0, maka a = 0 atau b = 0 (atau keduanya)

Untuk pengurangan bilangan bulat, perhatikan model dibawah ini.

• model -a-b=-(a+b)
• model a-(-b)=a+b

Ketika kita menjumpai suatu soal maka kerjakan bagian yang ada dalam kurung selanjutnya mulai dari yang terdepan.